題:
如何知道模態分析中給定輸入會激發哪些模式?
Karlo
2016-10-18 02:45:08 UTC
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考慮一個簡單的結構,例如梁,板等。假設您知道如何確定結構的不同振動模式。您將獲得外部輸入,例如某個位置的力或力矩。然後,您如何確定將激發多少模式? (只是一個一般性問題,我不考慮具體情況。)

三 答案:
alephzero
2016-10-21 07:25:32 UTC
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他們回答這個問題的方法是將動力學模型轉換為模態坐標,並查看力項會發生什麼。

假設我們可以將結構的剛度和質量特性描述為矩陣$ \ mathbf K $和$ \ mathbf M $,以及它在一個物理坐標系中作為向量$ \ mathbf x $的位移,並且我們應用了一個隨時間呈正弦變化的力向量,\\ mathbf F e ^ {i \

則係統的運動方程為$$(\ mathbf K-\ omega ^ 2 \ mathbf M)\ mathbf xe ^ {i \ omega t} = \ mathbf Fe ^ {i \ omega t} $$

我們可以取消$ e ^ {i \ omega t} $項並將其減少為$$(\ mathbf K-\ omega ^ 2 \ mathbf M)\ mathbf x = \ mathbf F $$(注意,為了簡化起見,我忽略了阻尼-這樣做不會影響最終結論)。

我們可以找到系統的正常模式並將特徵向量寫為矩陣$ \ mathbf \ Phi $。

我們可以將位移$ \ mathbf X $寫為線性組合一個特徵值,即$ \ mathbf X = \ mathbf \ Phi \ xi $其中$ \ xi $是一個向量。

將其代入運動方程式,並將兩邊都乘以$ \ mathbf \ Phi ^ T $,我們得到$$ \ mathbf \ Phi ^ T(\ mathbf K-\ omega ^ 2 \ mathbf M)\ mathbf \ Phi \ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$ or $$(\\ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi-\ omega ^ 2 \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi)\ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$

現在,如果我們使用質量歸一化的特徵向量,我們知道$ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi $是單位矩陣,而$ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi $是特徵值平方的對角矩陣。因此矩陣方程成為一組標量方程,對於$ i $ th模式,我們有$$(\ omega_i ^ 2-\ omega ^ 2)\ mathbf \ xi_i = \ mathbf \ Phi_i ^ T \ mathbf F $$

將該等式轉換成單詞可以回答OP的問題:對於每種模式,您都應將每個特徵值與所施加力的標量積相乘,以找到“力的模態分量”(即最終方程式的右側項),然後您可以找到該模式的相對振幅(即$ \ xi_i $)。

在許多情況下,我們僅對結構的單個自由度施加力。然後,結果是相當直觀的-將它們組合在一起時,有兩個相關的效果:

  1. 看最後一個方程式的右邊,最受激的振型是那些在施加力時位移最大的振型。

  2. 看同一方程的左手邊, 最容易激發的模式是自然頻率接近強迫頻率的那些

  3. ol>
CableStay
2016-10-20 22:18:16 UTC
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首先,施加恆定負載不會激發任何模式。您需要時變負載來誘發振動(例如,風,地震,爆炸)。激勵哪種模式將取決於所施加負載的頻率內容。

user2817017
2016-10-21 05:59:36 UTC
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對於靜態問題,可以使用教科書的靜態方程式,僅使用力和剛度來確定結構的位移:

$ F_ {normal} = K \ Delta \\ M_ {彎曲} = EI \ phi \\ T_ {扭轉} = GJ \ psi $

請注意,這些方程都不取決於時間。出於土木工程中大多數問題的目的,載荷施加的速度足夠慢,以至於慣性力與其他力相比很小,因此它們被忽略了(來自風和地震載荷的特徵通常需要進行動態分析)。

結構的振動模式需要動態分析,因此它們不僅取決於結構的剛度,還取決於結構的重量分佈,並在較小程度上取決於其阻尼。要確定結構的振動模式,您需要至少了解其剛度和質量(以及分佈方式)。最簡單的示例是與剛性K的水平彈簧相連的車輪上的質量M。該系統的固有頻率為:

$$ f = 2 \ pi \ sqrt \ frac {K} M $ $

請注意,要獲得系統的固有頻率,無需施加外部負載。由於我們的情況是單向的,因此很容易找出外部載荷將以哪種方式激發我們的結構(當然以計算出的頻率)。

對於更複雜的情況,質量通常是分佈的(而不是準時的),剛度通常除了軸向以外還包括彎曲,剪切和扭轉。對於這些更複雜的情況,我們通常還將使用多個自由度,因此您將需要解決具有多個變量的多個方程式(通常使用有限元分析)。在使用有限元分析時,您的質量將表示為n個矩陣乘以n個元素,而剛度將表示為n個矩陣乘以n個n個元素,其中n為自由度數。使用特徵值,我們可以求解與上述方程非常相似的方程,以獲得n個振動模式和n個固有頻率。如果想獲得共鳴,那就有自由。具有任何其他頻率的任何其他負載都不會單獨激發一種模式,因此您只能通過更複雜的計算來了解任何其他系統的行為。



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