題:
帶有孔的加壓剛性體積中P和T的時間變化率
J. Day
2020-08-23 00:51:10 UTC
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我正在嘗試模擬保持在加壓剛性體積內的氣體逸出時的壓力和溫度變化的時間速率:不穩定,開放的系統,沒有傳熱。在班級和在線提供的開放系統的大多數示例中,通常假定穩態條件位於目標控制體積內。我還沒有找到能夠充分模擬離開剛性容器的氣體的狀態變化的任何示例(例如,推進劑完全處於氣態的冷氣體推進器,或者空氣壓縮機罐處於減壓狀態)

以這種情況為例:一個絕緣的加壓剛性容器在下游連接到噴嘴,並可以抽空。我想知道在容積內以及噴嘴入口處看到的氣體壓力和溫度變化的時間速率是多少(假設它們是不同的)。

Illustration of situation

直覺告訴我,由於正在執行排出操作,因此容器內部氣體的溫度將降低。我知道噴嘴過程是等熵的(我已經完成了這一部分,這是我想進一步了解的上游過程),但是我不知道疏散是什麼樣的過程。我認為這可能是Joule-Thompson擴展,但我認為這僅在將系統作為一個整體(包括噴嘴)的情況下適用。我不知道是如何獲得殘留在容積中的氣體的狀態。


我第一次建模的嘗試是這樣的:

我從控制量的一般能量平衡方程開始:

$ \ frac {dE_ {cv}} {dt} = \ dot {Q_ {cv}} -\ dot {W_ {cv}} + \ dot {m} e_ {in}-\ dot {m} e_ {out} $ span>

沒有向內的質量或熱流(但這並不是絕熱的,因為質量正在離開系統),因此可以簡化為以下形式:

$ \ frac {dE_ {cv}} {dt} =- \ dot {W_ {cv}}-\ dot {m} e_ {out} $ span>

與向外流動的氣體( $ e_ {out} $ span>)相關的能量可以用焓( $ h $ span>)和動能( $ \ frac {c_ {out} ^ 2} {2} $ span>):

$ \ frac {dE_ {cv}} {dt} =-\ dot {W_ {cv}}-\ dot {m}(h_ {out} + \ frac {c_ { out} ^ 2} {2})$ span>

然後通過除以質量流率,我們可以將所有能量都用特定的 能量來表示:

$ \ frac {de_ {cv}} {dt} =-\ dot {w} _ {cv}-h_ {out}-\ frac {c_ {out } ^ 2} {2} $ span>

這告訴我什麼?正是我的直覺所言:控制體積內氣體的總(特定)能量( $ cv $ span>)將隨著時間的變化而變化。


因此,在這裡我被卡住了:

  1. 功定義為在封閉系統上恆定壓力下的體積變化,但這實際上是相反的!對於開放系統,這是恆定體積下的壓力變化。從形式上來講,這意味著 $ \ delta {W} = PdV = 0 $ span>,但是我認為僅適用於封閉系統。既然這是一個開放系統,那是否意味著我需要考慮整個工作衍生工具? $ dW = PdV + VdP $ span>嗎?並且由於簡歷中的 specific 量正在變化,這是否意味著 $ dW = Pd \ nu + \ nu dP $ span>?如果是這樣,那麼我將跳到以下關係:
  2. ol>

    $ \ dot {w} _ {cv} = P_ {cv} \ frac {d \ nu_ {cv}} {dt} + \ nu_ {cv} \ frac {dP_ {cv}} {dt} $ span>

    這是對這種情況的正確評估?

    1. cv( $ \ frac {de_ {cv}} {dt} $ span>)內部比能量的變化率是多少?僅僅是內部氣體的焓(因為焓包括內部能量和 $ PV $ span>能量,這告訴我壓縮氣體中存儲的能量得到
    2. ol>

      這就是我所知道的:

      下游的噴嘴正在控制質量流量。這將是一個隱式函數,因為通過噴嘴的質量流率部分是氣體溫度的函數-但是質量流率的變化會隨著氣體溫度離開體積而改變氣體溫度。不過,我認為我可以迭代地解決該問題(我已經有一個廣泛的程序可以對噴嘴流量進行建模,因此我應該能夠對此進行處理)。

      我最初對離開體積的氣體的假設是因為它是等熵的,但是這確實是錯誤的,因為它預測溫度將下降近-80 $ ^ \ circ $ span> C(並且這種假設得到了支持此視頻中的快速內容模糊處理)。簡而言之:我不知道哪種方法模擬離開體積的氣體。它不是等熵的,也不是等焓的,當然不是等溫的。它是等容的,但我不知道與此相關的方程。

      我很想獲得一些見識,尤其是當我的任何最初假設無效時。我對此非常生鏽。十多年前,我從事熱力學研究:|謝謝!


      更新-看似正確的答案:

      清除舊的教科書後,我發現我的知識差距在哪裡。網上,書籍等中給出的每個示例似乎總是假設穩定流,即使在這樣的開放系統中也是如此。這很容易,因為在系統上進行質能平衡時, $ \ frac {dE} {dt} $ span>(實際上應該是 $ \ frac {dU} {dt} $ span>,因為它是等式的內部能量的變化)將變為零。但是,如果它不是穩態呢?

      $ \ frac {dU} {dt} $ span>僅表示速率cv中內部能量的變化,但是如果您想在任何給定時間知道壓力和溫度,則必須知道該能量的絕對值是多少。因此,我認為解決方案是跟踪內部能量( $ U_ {cv} $ span>-即 $ um_ {cv} $ span>)。

      從那裡開始,在模擬的每個時間步,您都將使用特定的體積 $ v $ span>和比內能 $ u $ span>,以確定cv內的壓力和溫度由於質量流率由下游的噴嘴控制,因此您知道 $ \ dot {m} $ span>並可以使用該知識來確定控件內部質量的變化

      因此,對於我的配方,我做了以下工作:

      從節能開始:

      $ \ delta {U} = \ delta {Q} + \ delta {W} + \ delta {M} $ span>

      對於開放不穩定系統,我們的總能量變化率( $ E $ span>)是所有供暖的總和( $ Q $ span>),工作( $ W $ span>)和質量流量( $ M $ span>)。

      $ \ dot {U} _ {cv} = \ dot {Q} _ {cv} + \ dot {W} _ {net} + \ dot {M} _ {cv} $ span>

      所以現在讓我們分解一下...。

      1. $ \ dot {M} _ {cv} = \ dot {m}(u + \ frac {c ^ 2} {2})_ {in} + \ dot {m}(u + \ frac {c ^ 2} {2} )_ {out} $ span>
      2. ol>

        這是流入/流出系統的流體的能量。它具有一些內部能量( $ u $ span>)和一些速度( $ c $ span>)。我忽略了重力勢能( $ gz $ span>)和化學勢能(??)。內部能量( $ u $ span>)是一詞的上半部分,我將在稍後介紹。沒有流入,所以只剩下流出項。

        1. $ \ dot {W} _ {net} = \ dot {W} _ {shaft} + \ dot {W} _ {flow} $ span>
        2. ol>

          這是系統或系統完成的工作,包括在系統上完成的工作簡歷裡面的東西(請注意,您會發現略有不同的詞彙表,描述了系統上可以完成的所有不同種類的工作。為此,我將活塞,螺旋槳等所做的任何工作混入“軸”中,通過移動與動量相關的流體作為“流動”而完成的工作)。現在,讓我們對工作術語進行一些細分:

          2a。 $ \ dot {W} _ {shaft} = 0 $ span>

          對於使用任何外部設備形式的流體均不做任何處理一旦流體進入控制體積,就可以攪拌或改變其能量。

          2b。 $ \ dot {W} _ {flow} = \ dot {m}(Pv)_ {in} + \ dot {m}(Pv)_ {out} $ span >

          這是考慮“流動工作”的地方,但是我發現這個名稱有點誤導,因為“流動”(至少在我看來,至少是與速度有關)。無論如何,這就是與壓縮流體並將其移入/移出系統相關的所有能量。這是一詞的第二部分,我將在稍後介紹。沒有資金流入,所以唯一的條件就是外向條件。

          1. $ \ dot {Q} _ {cv} = \ dot {Q} _ {in} + \ dot {Q} _ {out} = 0 $ span>
          2. ol>

            這就是從中添加/排除的所有熱量系統。這是絕熱的,因此不添加或拒絕熱量,因此等於0。

            現在將它們放在一起! U} _ {cv} = \ dot {m}(Pv)_ {out} + \ dot {m}(u + \ frac {c ^ 2} {2})_ {out} $ span>

            回想一下 $ h $ span>)是一個用於組合內部能量的術語( $ u $ span>)和流程工作( $ Pv $ span>)為方便起見嚴格地。它與可測量的屬性有關係,但否則很難一概而論。但是,由於 $ Pv $ span>和 $ u $ span>經常出現在一起,因此科學家和工程師已開始將焓值製表除了內部能量和比容。因此我們最終得到的是:

            $ \ dot {U} _ {cv} = \ dot {m}(u + Pv + \ frac {c ^ 2} {2})_ {out} = \ dot {m}(h + \ frac {c ^ 2} {2})_ {out} $ span>


            現在我有了系統中能量變化的時間率( $ \ frac {dU} {dt} = \ dot {m}(h + \ frac { c ^ 2} {2})_ {out} $ span>),我可以使用下游等熵流屬性來確定 $ \ dot {m} $ span> 。此外,假設我對流道的幾何形狀有所了解,則可以使用相同的等熵關係來確定馬赫數-從而確定速度-通過假設停滯壓力 $ P_0 $ span>)是常量(這使我不確定自己的假設……在某種意義上,我覺得我在混合隱喻,因為我在混合 isen-假設。)

            一旦我有了我的 $ \ frac {dU} {dt} $ span>,我就會遍歷它代碼,請執行以下操作:

            1. 使用我的噴嘴代碼計算 $ \ dot {m} $ span>(此處未涵蓋)根據初始停滯條件 $ P_t $ span>和 $ T_t $ span>

            2. 使用 $ \ dot {m} \ Delta {t} $ span>來計算簡歷中的剩餘氣體質量和特定體積 $ v $ span>

            3. 計算能量的變化 $ \ frac {dU} {dt} $ span>,使用上述質量能平衡方程和CO2的性質找到 $ h $ span>和等熵Mach-區域& Mach-Density關係可找到 $ c $ span>(事實證明,這幾乎可以忽略不計)。

            4. 計算c.v中剩餘氣體的總內部能量。 ( $ u m_ {cv} $ span>)。為此,我需要從NIST獲得的特定流體特性,並編寫了一些函數以在點之間執行線性插值(即輸入 $ P $ span>, $ T $ span>,並返回 $ u $ span>)。

            5. 減去 $ \ frac {dU} {dt} \ Delta {t} $ span>從總內部能中重新計算新質量下的比內部能。

            6. 使用相同的NIST數據進行插值並找到新的 $ P $ span>, $ T $ 基於 $ u $ span>, $ v $ span>。

            7. 重複

            8. ol>

              我得到的結果是,我的30個小 $ cm ^ 3 $ span>壓力容器,其壓力由60 Ks降至100 psig降到145K。有趣的是,等熵計算的壓降速率與該速率非常相似,但等熵計算的溫度比該溫度低很多,但比等熵溫度低甚至更低。 此外,根據我的實驗結果,這似乎更加現實(其中我沒有觀察到由於單次排出氣體而引起的任何相變或極端溫度波動) s>這是不現實的,是嗎? s> >

您的方法看起來正確。我進行了一次快速計算,從一個1mm的孔中排放出30cc充滿空氣的室內,並得到了相似的溫度。我還將進行時間步長敏感性研究,以確保$ \ Delta t $足夠小。同樣,在如此大的溫度梯度下,一定會有明顯的熱量傳遞到容器中,因此,如果放電時間足夠長,則絕熱假設可能會開始崩潰。
感謝您的仔細檢查,但不幸的是,我意識到我的原始模擬有一些小錯誤。當我固定它們時,我發現溫度下降了*甚至比等熵溫度還大:((我已經做過$ \ Delta t $研究,以確保結果至少收斂)。使用等熵假設,$ T $下降到〜127K。利用能量守恆,$ T $下降到〜143K。
我使用了一個流量為30 cc的容器,通過一個直徑為1 mm的孔進行了通風,假設流量被阻塞。您有一個噴嘴,因此質量流率將與我的有所不同。然後,我使用正向Euler方法求解了$ \ dot m $和$ \ dot U $的ODE。知道了$ m $和$ U $之後,我便使用了理想的氣體狀態方程式和$ U = m \ cdot c_v \ cdot T $方程來計算壓力。我使用$ \ Delta t = 10 ^ {-2} s $在離散的時間步上求解了該方程組。我假設流體是空氣,順便說一句。
在$ 1 s $之後,水箱中的壓力幾乎為零,溫度降至$ 47 K $。儘管一秒鐘是很短的時間,但是$ 47 K $是*非常*冷的溫度,並且可能會有一些明顯的熱量從周圍環境傳遞到儲罐(以及儲罐中的空氣)。接下來要添加到該模型中的是簡單的傳熱計算,以了解其重要性。
二 答案:
Phil Sweet
2020-08-23 21:03:23 UTC
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感謝您提出的第一個問題。

首先,您需要一個模型用於坦克的狀態方程。在給定初始條件的情況下,制定出產生靜壓,溫度,功等作為罐中剩餘質量的函數的公式。 (您需要為儲罐至少有一個完全定義的狀態點,我假設它是初始狀態。)

對這些時間進行微分,以獲得隨質量流量變化的變化率。

p>

使用噴嘴方程將 $ P_ {in}(靜態)= P_ {tank} $ span>與質量流量相關。

您可能需要一個方程來將 $ \ partial T / \ partial m $ span>與 $ \ partial P / \ partial m $ span>。

我不知道您為什麼通常認為80 C的下降是不合理的。這是氧氣和二氧化碳首先被製成液體的方式。

質量 $ m = f(P,T)\ quad $ span>初始質量 $ m_1 = f(p_1,T_1)$ span>表示一些恆定體積的氣體。

您可以嘗試Beattie-Bridgeman真實氣體模型。

\ begin {align *} p& = {\ frac {RT} {v ^ {2}}}} \ left(1-{\ frac {c} {vT ^ {3}}} \ right)(v + B)-{\ frac {A} {v ^ {2}}} \\\ text {where} \ quad \ quad \\ A& = A_ {0} \ left( 1-{\ frac {a} {v}} \ right)&B& = B_ {0} \ left(1-{\ frac {b} {v}} \ right)\ end {align *} span>

常見氣體的五個常數是廣泛可用的。 $ v $ span>通常以 $ \ frac {m ^ 3} {k \,mol} $ ,請在查找常量時進行檢查。

對於此應用程序,我以20°C和100 psig的CO2作為初始條件,因此我只是假設一種理想的氣體。在該壓差下,80℃似乎過高(特別是因為我已經做過實驗,發現降幅沒有那麼大)。我重新推導了能量平衡,發現$ h_ {cv} = h_ {out} + \ frac {v ^ 2_ {out}} {2} $,這樣可以描述過程(對嗎?)和理想氣體模型描述狀態。我只是迷失在如何將一個凝聚力模型連接在一起的所有東西。
Carlton
2020-08-23 20:27:13 UTC
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要回答您的最後一個問題,我將此過程歸類為通過噴嘴進行的非絕熱膨脹。

$ \ dot W $ span>能量平衡中的術語通常表示流動工作以外的其他工作形式。由於您有一個堅固的戰車( $ dV = 0 $ span>),因此系統上沒有其他工作要做,因此您可以消除 $ \ dot W $ span>來自能量平衡。然後將其簡化為 $ \ dot E = \ dot m(h + \ frac {v ^ 2} {2})$ span>。我對速度btw使用 $ v $ span>。由於內部能量相對於質量和溫度都在變化,因此我將寫為 $ \ dot E = \ dot m c_v T + mc_v \ dot T $ span>。您可以將其插入能量平衡以獲得 $ \ dot m c_v T + mc_v \ dot T = \ dot m(h + \ frac {v ^ 2} {2})$ span>。請注意,溫度變化率不僅取決於質量流量,還取決於系統中的瞬時質量和溫度。

聽起來好像您已經有了 $ \ dot m $ span>從噴嘴計算中得出,因此應該直接解決 $ T(t)$ span>, $ m(t)$ span>和 $ v(t)$ span>。您只需要集成兩個ODE( $ \ dot T $ span>和 $ \ dot m $ span>),可能必鬚根據您的噴嘴方程進行數值運算。您還需要 $ m $ span>和 $ T $ span>的初始條件。

編輯:再三考慮,將 $ \ dot E $ span>保持在能量平衡中並將其集成以找到 $ E(t)$ span>。然後,您可以直接使用 $ E = mc_vT $ span>來找出 $ T(t)$ span>(忽略重力和流體的動能。

工作術語使我無法接受的事情之一。實際上,由於它是剛性儲罐,因此$ dV = 0 $,但是“特定”體積正在變化。因此,即使$ \ Delta {W} = P \ Delta {V} = 0 $,也可以說$ dw = P d \ nu \ neq 0 $。這是否不能準確反映控制室內的氣體所完成的工作?還是我在這裡混淆一些東西?
做工作需要用力移動某些東西。這可以是壓力作用於體積變化,或者作用力作用於距離變化等。儘管您的儲罐中特定體積在變化,但其邊界沒有移動,這意味著沒有$ PdV $或$ Fdx $工作。但是,有一些工作在氣體逸入噴嘴的地方進行。想像一下,少量控制氣體在逸出時會向大氣中擴散。它在壓力下不斷膨脹,隨著與大氣的平衡,其體積會不斷增加,因此它滿足了進行工作的所有標準。
因此,$ \ Delta W = P \ Delta V $項*專門*僅適用於控制量?好的。我認為我不理解的概念是,即使數量固定,作品也可以有多種形式。我缺少的關鍵概念是“流程工作”的概念,對於開放系統,它表示為$ \ dot {W} _ {flow} = \ dot {m} e_ {flow} $,其中$ e_ {flow } = u + \ frac {c ^ 2} {2} + gz $(u是內部比能,c是速度,gz是重力)。


該問答將自動從英語翻譯而來。原始內容可在stackexchange上找到,我們感謝它分發的cc by-sa 4.0許可。
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