題:
區域的第一刻-符號/意義的含義
Akitirija
2015-05-26 20:40:09 UTC
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我試圖在下圖上找到A點附近的區域的時刻:

enter image description here

我更喜歡使用積分,因為它可以擴展到其他位置形狀,並執行以下操作:

$ \ displaystyle Q_z = \ int _ {-25} ^ {25} \ int _ {-23} ^ {35} y \,dy \,dz = -17400 \: \ mathrm {mm} ^ 3 $

但是,我得到的解決方案指出$ Q_z = 17400 \:\ mathrm {mm} ^ 3 $

這讓我感到奇怪關於兩件事:

  1. 符號的含義是什麼(如果有的話)?

  2. 我做錯了什麼在我的計算中(又名“我在這裡不明白什麼?”)

  3. ol>
一 回答:
Air
2015-05-27 04:48:08 UTC
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符號的含義是什麼(如果有的話)?

結果中的負號沒有物理意義;

面積的第一矩的整數定義為$ \ iint_A {r(y,z)\,dA} $,或整個交叉的和。微分面積元素乘積的截面積及其與感興趣軸的垂直距離。*從這個意義上講,面積和距離在概念上都是非負標量,無論您在軸的哪一側,因此您的答案

我在計算中做錯了什麼(又名“我在這裡不明白什麼?”)

答案的標誌不是唯一的問題。

如果要進行積分過程,必須小心使用適當的距離函數$ r(y,z)$,該距離函數在這種情況下,是歐幾里德距離

在您感興趣的軸與一個坐標軸平行的情況下,距離函數相對於該軸是不變的。如果您如圖所示定義坐標軸,並且原點位於區域的質心,則點$ A $的坐標為$(-23,20)$,而距離函數就是一維歐幾里得距離高度為$ y $的微分面積元素和與包含點$ A $的z軸平行的線的高度$ y_A $之間的值:

$$ r(y,z)= | y-y_A | = | y + 23 | $$

您的積分現在是:

$$ Q_z = \ iint \ limits_A | y + 23 | \,dA $$

剩下的全部,認識到$ dA = dy \,dz = dz \,dy $是確定積分的極限。如圖所示,以原點為質心,積分的極限是該區域的邊界:

$$ Q_z = \ int \ limits _ {-25} ^ {25} \ int \ limits_ {-35} ^ {35} | y + 23 | \,dy \,dz $$

很難準確地說出 您的錯誤是什麼,而無需查看逐步的計算結果。也許當您將絕對值分成分段定義時,您忘記了第二項嗎?另一種方法是將原點重新定義為$ A $,在這種情況下,距離函數幾乎是正確的,但是您必須重新計算積分的y極限。

答案


*


**我在這裡寫的方程是一般的二維形式,其中感興趣的軸不一定與任一坐標軸。 sub>

謝謝您的出色解釋,Air。但是,當我計算$ Q_z = \ int _ {-25} ^ {25} \ int _ {-35} ^ {35} | y + 23 | dydz $時,我得到$ Q_z = 87700mm ^ 3 $,這並不相同解決方案$ Q_z = 17400mm ^ 3 $。解決方案是否錯誤,還是我在這裡還沒得到東西?我檢查了WolframAlpha,集成似乎是正確的。感謝您抽出寶貴的時間!
使用其他方法檢查意外結果始終是一個好主意。在這種情況下,矩形圍繞其基本邊緣的面積的第一矩的已知公式為$ \ frac {1} {2} bh ^ 2 $。將形狀拆分為$ A $上方和下方的矩形,並對其矩求和以計算$ Q_z = \ frac {1} {2} bh_ {above} ^ 2 + \ frac {1} {2} bh_ {below} ^ 2 $。這應該與整合的結果一致。如果是這樣,那麼就可以合理地質疑所提供的解決方案是否正確。


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